大哉数学之为用 [复制链接]

第7版()
专栏：

大哉数学之为用
华罗庚
一
数（读作Shù）起源于数（读作Shǔ），如一二三四五……，一个两个三个……。量（读作Liàng）起源于量（读作Liáng），先取一个单位做标准，然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量，各种不同的量这些量的单位，如尺、斤、斗、秒、伏特、欧格和卡路里等等，但都必须通过数才能确切地把实际的情况表达出来。所以“数”是各种各样不同量的共性，必须通过它才能比较量的多寡，才能说明量的变化。
“量”是贯穿到一切科学领域之内的。因此，数学的用处也就渗透到一切科学领域之中。凡是要研究量，量的关系，量的变化，量的关系的变化，量的变化的关系的时候，就少不了数学。不仅如此，量的变化还有变化，而这种变化一般也是用量来刻划的。例如，速度是用来描写物体的变化的动态的，而加速度则用来刻划速度的变化。量与量之间有各种各样不同的关系，各种各样不同的关系之间还可能有关系，为数众多的关系还有主从之分——也就是可以从一些关系推导出另一些关系来。所以数学还研究变化的变化，关系的关系，共性的共性，循环往复，逐步提高，以至无穷。
数学是一切科学的得力助手和工具。它有时由于其他科学的促进而发展，有时也先走一步，领先发展，然后再获得应用。任何一门科学缺少了数学这一项工具便不能确切地刻划出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的精确度。
二
宇宙之大，宇宙的形态，也只有通过数学才能说得明白。天圆地方之说就是古代人民尝试用几何形态来描绘客观宇宙的第一步。这种“苍天如圆盖，陆地如棋局”的宇宙形态的模型，后来被航海家用事实给以否定了，但是我国从理论上对这一模型提出怀疑的要早得多，并且也同样地有力。论点是：“混沌初开，乾坤始奠，气之轻清上浮者为天，气之重浊下凝者为地。”但不知轻清之外，又有何物？也就是圆盖之外，又有何物？三十三天之上又是何处？要想解决这样的问题，就必须借助于数学的空间形式的研究。
牛顿时代对宇宙的认识更进了一步，认为人们是生活在一个无边无际的三度空间之中。其中的日月星辰包括地球在内都是一些物体按照万有引力定律，相互作用着在这空间里运行不息。这样的数学模型是上下左右前后六向都可以无穷展延的空间，也就是我们中学里所认识的几何学。它的学名叫做欧几里得几何学。
这理论到今天，在地球上小范围内处理一般问题的时候，也就是在物理学家所谓重力场可以忽略的情况下，还是正确得很的理论。但在不可忽略的时候，便出现了不能解释的现象。在空间取三颗星星作为一个大三角形的顶点，这样三角形三内角之和并不等于二直角。怎样来描绘这样的空间呢？幸亏数学工作者先走了一步，创造了非欧几里得几何学，特别是其中的黎曼几何学。爱因斯坦就以此为依据创造了相对论，来说明宇宙。
三
佛经上有所谓“金粟世界”，也就是一粒粟米也可以看作一个世界。这当然是佛家们的幻想。但是我们今天所研究的原子却远远地小于一粒粟米，而其中的复杂性却不亚于一个太阳系。
即使是研究这样小的原子核的结构也还是少不了数学。描述原子核内各种质子的运动更是少不了数学。能不能用处理普通世界的方法来处理核子内部的问题呢？情况不同了！在这里，牛顿的力学，爱因斯坦的相对论都遇见了困难。在目前人们应用了另一套数学工具，如算子论、群表示论和广义函数论等。这些工具都是本世纪的产物。即使如此，也还是不能完整地说明它。
在物质结构上，不管分子论也好，原子论也好，及近代的核子的结构也好，物理科学上虽然经过了多次的概念革新，但是自始至终都和数学分不开。不但今天，就是将来，也有一点是可以肯定的，就是一定还是要用数学。
是否有一个统一的处理方法，把宏观世界和微观世界统一在一个理论之中，这是物理学家当前的重大问题之一。不管将来他们怎样解决这个问题，但有一点是可以肯定的，就是在处理这些问题的数学方法必须统一。必须有一套既可以解释宏观世界又可以解释微观世界的数学工具。数学一定和物理学刚开始的时候一样，是物理科学的助手和工具，在这样的大问题的解决过程中，也可能促进数学的新分支的创造和形成。
四
在今天，用一日千里来形容慢则可，来形容快则不可了！人类可创造的物体的速度远远地超过一日千里。飞机虽快到日行万里不夜，但和宇宙速度比较，也显得缓慢不堪。古代所幻想的朝昆仑而暮苍梧，在今天已不足为奇。今天所常
谈到的速度是第一宇宙速度和第二第三宇宙速度。神话中的嫦娥仅仅是奔向月球，但是苏联所发射的人造行星（宇宙火箭），却超越月境而奔向更远的空间，与金、木、水、火、土众行星一样围绕着太阳而环行了！
不妨回忆一下，在星际航行的开端——由诗一般的幻想进入科学现实的第一步，就是和数学分不开的。早在牛顿时代就算出了每秒钟八公里多的第一宇宙速度。这给科学技术工作者们指出了奋斗指标：如果能够达到这一速度，就可以发射地球卫星。经过了几世纪各门各类的科学技术专家的努力，终于发射了人造卫星。数学工作者自始至终都参与这一工作（当然，其中不少工作者不是以数学工作者见称，而是运用数学工具的人）。早已算出的第二宇宙速度已经由苏联的辉煌成就——第一颗人造行星的发射而实现了，而已经算出的第三宇宙速度今天依然成为我们科学家进一步的奋斗目标。
五
以盐为例。盐是家家不可少，人人都需要的，但并不处处都产盐。因此，就必须把产地的盐运往销地。调动的范围大，运输量也不小。怎样才能使运费最省（或吨公里最短，或占用车皮的平方米时数最小），这就是一个数学问题。
日用百货及一切物资都有同样的问题。在社会主义的国家里，特别是幅员广大的我国，一切物资的最经济的调配就是一个重要问题。如果调配不当，就可以产生成百万成千万元的浪费。
物资的合理调配，农作物的合理分布，水库的合理排灌，电力网的合理安排，工业的合理布局，都必须通过数学才能完满解决，求得最合理的方案。总的一句话，在具有各种互相制约、互相影响的因素的统一体中，寻求一个最合理（依某一目的，如最经济、最省人力）的解答便是一个数学问题。这也就是“多、快、好、省”原则的具体体现。
六
宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，无处不用数学。其他如爱因斯坦用了数学工具所获得的公式指出了寻找新能源的方向，并且还预示出原子核破裂发生的能量的大小；在天文学上，先从计算上指出海王星的存在再发现海王星的事实；又如高速飞行中，由次音速到超音速时出现了突变，而数学上出现了混合型偏微分方程的研究；还有无线电电子学与计算技术同讯息论的关系，自动化与控制技术同常微分方程的关系，神经系统同控制论的关系等等，不胜枚举。
七
数学是一门富有概括性的学问。抽象是它的特色。同是一个方程，弹性力学上是描写振动的，流体力学上却描写了流体动态，声学家不妨称它是声学方程，电学家也不妨称它为电报方程，而数学家所研究的对象正是这些现象的共性的一面——双曲型偏微分方程。这个偏微分方程的解答的性质就是这些不同对象的共同性质，数值的解答也将是它所联系各学科中所要求的数据。
不但如此，这样的共性，一方面可以促成不同分支产生统一理论的可能性，另一方面也可以促成不同现象间的相互模拟性。例如：声学家可以用相似的电路图来研究声学现象，这大大地简化了声学实验的繁重性。这种模拟性的最普遍的应用就是模拟电子计算机的产生。根据神经细胞有兴奋与抑制两态，电学中有带电不带电两态，数学中二进位数的○与1、逻辑中的“是”与“否”，因而有用电子数字计算机来模拟神经系统的尝试，及模拟逻辑思维的初步成果。
我们作如上的说明，并不意味着数学家可以自我陶醉于共性的研究之中。一方面我们得承认，要求数学家深入到研究对象所联系的一切方面是十分困难的，但是这并不排斥数学家应当深入到他所联系到的为数众多的学科之一或其中的一部分。这样的深入是完全必要的。这样做既对国民经济建设可以做出应有的贡献，而且就是对数学本身的发展也有莫大好处。
八
客观事物的出现一般讲来有两大类现象。一类是必然的现象——或称因果律。一类是大数现象——或称机遇律。表达必然现象的数学工具一般是方程式，它可以从已知数据推出未知数据来，从已知现象的性质推出未知现象的性质来。通常出现的有代数方程，微分方程，积分方程，差分方程等等（特别是微分方程）。处理大数现象的数学工具是概率论与数理统计，通过这样的分析便可以看出大势所趋，各种情况出现的比例规律。
数学的其他分支当然也可以直接与实际问题相联系。例如：数理逻辑与计算机自动机的设计，复变数函数论与流体力学，汛函分析与群表示论之与量子力学，列曼几何之与相对论等等。在计算机设计中也用到数论。一般说来，数学本身是一个互相联系的有机整体，而上节所提到的两方面是与其他科学接触最多，最广泛的。
还应当提出的是计算数学这一分支。这是一门与数学的开始而俱生的学问，不过今天特别显示出它的重要性。因为对象日繁，牵涉日广（一个问题的计算工作量大到了前所未有的程度）。解一个一百个未知数的联立方程是今天科学中常见的（如水坝应力，大地测量，设计吊桥，大型建筑等等），仅靠笔算就很困难。算一个天气方程，希望从今天的天气数据推出明天的天气数据，单凭笔算要花成年累月的时间。这样算法与明天的天气何干？一个讽刺而已！电子计算机的发明就满足了这样的要求。近代的电子计算机的出现丝毫没有减弱数学的重要性，相反地更发挥数学的威力，对数学的要求提得更高。繁重的计算劳动减轻了或解除了，而创造性的劳动更多了。计算数学是一个桥梁，它把数学的创造同实际结合起来。同时它本身也是一个创造性的学科。
除掉上面所特别强调的分支以外，并不是说数学的其余部分就不重要了。只有这些重点部门与其他部分环环扣紧，才能把数学发展得既符合我国当前的需要，又符合长远需要。
九
从历史上数学的发展的情况来看。社会愈进步，应用数学的范围也就会愈大，所应用的数学也就愈精密，应用数学的人也就愈多。在日出而作日入而息的古代社会里，会数数就可以满足客观的需要了。后来由于要定四时，测田亩，于是需要窥天测地的几何学。商业发展，计算日繁，便出现了代数学。要绘描动态，研究关系的变化，变化的关系，因而出现了解析之学、微积分学等等。解放前报纸上能见到几个与大家有关的数字？不知道什么是百分比，那没有关系。不知道按比例增加，更是无所谓。但是今天这些数学术语的涵义成为大家熟知的常识。有些工厂已经要求工人自己计算产品成本。人民公社已经成为一个业务繁多规模宏大的组织，农作物的合理配合栽种，人力的合理调配等等都需要数学。一个水库容量几何？一个山坡面积几何？都需要进行计算。这一切说明时代变化了，即使就社会一般的需要来说，对数学的要求也大大提高了！
解放前，学数学的人有英雄无用武之地之叹。有人说得有趣：“只要学会重利盘剥的计算就行了，高深数学是没有用的。”今天，已不再是数学无用武之地，而是处处感到领域太宽，本领太小了。我国在伟大的中国共产党英明领导下，数学工作者的队伍空前增长。大学数学系每年毕业生的人数也大大增加。尽管这样，也还是远远不能满足祖国的需要。在伟大的社会主义建设事业面前，我们的队伍还小，力量还弱。
巴诺夫教授在苏联“共产党人”杂志上发表的一篇以“科学与社会主义”为题的文章中举出了有力的数据（译文见“科学通报”1958年第6期），说明了在社会主义企业中所需要的数学人材的比例数字，并且指出了苏联数学工作者的比重远多于美国的事实。在美国惊呼火箭技术落后的时候，不少科学家归咎于对基本科学的重视不够，并且建议在中学中设置数学奖学金以提高数学水平。我们当然并不同意他们这种不涉及事物本质的看法，但是有一点可以肯定，美国有些人正在为他们的数学落后而惊呼。
所以无论从科学本质看来，从历史发展来看，从全世界的情况来看，从我国当前和长远的需要来看，数学的重要是无可置辩的。
十
数学的用处在物理科学上已经经过历史考验而证明。它在生物科学和社会科学上的作用也已经露出苗头。虽然现在还用得不算多不算深，但是也有十分宽广的前途。
最后，我得声明一句，我并不是说其他科学不重要或次重要。应当强调的是，数学之所以重要正是因为其他科学的重要而重要的，不通过其他学科，数学的力量无法显示，更无重要之可言了。回到本文开始的例子，没有“量”你怎样用得到“数”呢？