数学的用场 [复制链接]

第8版()
专栏：

数学的用场
华罗庚
算水库容积
咱们必须要心中有个底，咱们的公社究竟掌握了多少水！如果要水就放，把水库放枯了，到了秋旱时节就不好办。同样，在夏天使农作物干渴了，而秋天水库存水太多，那也大可不必，如果再遇上个阴雨绵绵的秋天，地上有水，库里又不能再蓄水，怎办？因此一个水库的合理泄放，和它附近农田的合理排灌，就是一个极有意义的问题。这样的问题当然也要用到数学来帮助解决，虽然其他因素很多，我们必须根据具体情况，进行计算，进行安排，但不管怎样安排，有一点是肯定要知道的，就是水库里有多少水。从一水位到另一水位有多少水，只有准确地掌握了水量，才有可能合理使用。我们准备分两次来介绍水库容量的计算方法。这次介绍有地形图的大水库的容积估算法，下次将介绍小水库或池塘的容积估算法。
假定没有修水库前有一幅画了等高线的地形图（图一），高程差是h，地图上所表示的一圈，实际上便是水库中一定高程的水面，我们来估算两个这样平面之间的体积，这两平面之间的距离便是高程差h，我们以A，B各代表上下两个等高线圈所包有的面积，所求的体积显然不大于下圈面积乘以高程差，即Ah，也显然不小于上圈面积乘以高程差，即Bh，也就是面积在Ah与Bh之间，我们用它们的平均值A+B/2h来代表这两个高程间的一片体积，这也可以讲成为平均截面积乘上高就等于两高程间的体积，一片一片地算出来，便可以知道从那一个高程和那一个高程之间有多少水，加起来便得总存水量。
这个方法，一般说来可以符合客观需要的，但估计出来的蓄水量可能偏高了一些，我们现在再介绍一个矿藏量估算上常用的方法（这个方法叫做巴乌曼法，是他估算顿巴斯煤矿矿藏量时所发现的），这方法比以上的方法更精密些，公式是：
（1/2（A+B）-1/6T）h
而T是根据以下方法所画出的图形的面积（图二）
从制高点O出发，作射线OP，这射线在地图上A，B之间的长度是l，另作一图，取一点O’，并与OP同方向取O’P’＝?，当P沿着A走一圈时，P’也得一图形，这图形的面积就是T。这个面积我们也用T（A，B）来表示它，因为依赖于二截面A与B（这个方法的推导要用较长的篇幅，或要用微积分，因此从略）。
用连续三个截面考虑，第一法还可以改进，如果知道三个截面的面积是A，B，C，我们可以把1/2（A＋B＋C）看成为平均面积，但由于B面居中，也可以把B面看为平均面积，这两个数目不一定相等，我们再平均一下，即以1/2（1/3（A+B+C）+B）=1/6（A＋4B＋C）为平均面积乘上高度2h，如此得二片在一起的体积1/3（A＋4B＋C）h这方法叫做索波列夫斯基的方法，或辛普生法，巴乌曼法及索波列夫斯基的方法不好比较，有时这个精密些，有时那个精密些，但以下的公式比这两个方法都精密些：
h〔1/3（A+4B+C）-2/15（T（A，B）+T（B，C））+1/15T（A，C）〕
算水库的方法不仅可以用来算水库，当然还可以用来估矿藏，算土石方等等。感谢从事于估计矿藏量的工作者向我们介绍了巴乌曼法，现在我们以第四法来回报他们的好意，供他们试用和参考。
（附图片）