数学的用场 [复制链接]

第8版()
专栏：

数学的用场
华罗庚
斜坡面积怎样算
无论从理论上讲或者在实际计算中运用，计算一个不规则的立体的表面积总是一件比较难的事，所谓比较难是指比算平面积和算立体体积而言。但是地理学家和采矿学家都有他们自己的适合于实用的好方法，这些方法虽然不能给出确切的表面积，但，在坡度不太悬殊的地形下，这些方法都可以给出合乎要求的粗估数值。有时还可以用分块算（依坡度相近分块），再合计的办法来改进精密度。
在介绍这些方法之前，我们先说明一些简单的事实，就是根据了这些事实，及以“平面估曲面”的方法，得出公式来。
一条斜线，其长度是AB，在水平面上的投影的长度是A’B’，其间有关系
ABcos?＝A’B，这儿?是斜线与水平面的夹角（也称水平角），勾股弦定理（商高定理）告诉我们AB2＝A’B’2＋BP2（＝A’B’2（1＋tg2?））这儿BP是A，B两点的高程差，把这原则引伸到面积上。
假定有一平行四边形ABCD， AB，CD两边都平行于水平面，ABCD在水平面上的投影是A’B’C’D’，则面积间有次之关系
ABCD　cos?＝A’B’C’D，这儿?是平面ABCD的水平角，同样也有（ABCD）2＝（A’B’C’D’）2＋（CDPQ）2这儿CDPQ是一个长方形，它的高是高程差h（AB与CD的高程差），它的底长是AB（＝PQ），所以CDPQ的面积等于h·AB，即
ABCD=（A’B’C’D’）2+（h·AB）2
根据这些原则，我们介绍斜坡面积的计算方法，如果有一张画有等高线的地图，它的高程差是h，在要计算的范围内，由低到高，等高线是?0，?1，……，?n－1，?n，我们也用这些符号来表达这些等高线的长度，我们先在地图上量　?0与?1之间的面积，命之为B0，即?0与?1之间的斜面积等于B02+（10h）2。就这样一条一条地算出，总加起来便是斜坡面积的近似值。
这基本上是采矿学家巴乌曼的方法，但也作了一些必要的简化和改进。
在计算的时候，这个方法需要开方多次，比较麻烦，地理学工作者常用一个易算，但欠精密些的优尔可夫方法。
先从地图上算出要测地区的面积B，然后再求平均倾斜角?：
tg?＝h·?／B
这儿?是等高线的总长度?0＋?1＋……＋?n－1，于是斜面积可以用以下的公式来估算B／cos?＝Bsec?，由于sec2?＝1＋tg2?，所以
Bsec?=B1+tg2?=B2+（h·?）2
在理论上，这些方法所估算出来的面积一般都小于实际的面积，讲得更切实些，只有一些十分特殊的地形，这些方法所给的结果，才能无限逼近真正的斜面积。优尔可夫的方法，仅当天坛顶、金字塔、蒙古包式的图形才有可能。而巴乌曼法的范围稍宽一些，但也仅当白塔（北海）、葫芦式的图形才有可能。
这建议在估矿的时候，如果要求不太精密，不妨用地理学家的方法来节省劳力，同时，反过来，在要求稍精密的时候，我们又不妨采用采矿学家的方法。详细的比较，及误错的估算，我们这儿不谈了，但再赘一句按“坡度接近”来分块，分算合计，可以增加精密度。（附图片）